Расчет сложных процентов

Сложные проценты — это не что иное, как экспонента или показательная функция. Их также называют “проценты на проценты” или составные проценты (англ. compound interest) и часто пользуются ими в финансовых делах. Обычные проценты тоже используются, но скорости роста между ними существенно отличаются. Обычным процентам соответствует линейная функция. Но в денежных вопросах не используют непрерывности аргумента, как в математическом анализе, здесь лучше говорить о прогрессиях: геометрической и арифметической соответственно.

Обе данные прогрессии — это последовательности чисел, определяемые простейшими рекурсивными формулами. Их можно описать почти без всякой математики, на пальцах.

Вот, например, геометрическая прогрессия:

1. у нас есть первый член X₁;
2. каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на постоянное число r (знаменатель геометрической прогрессии). А формула показана ниже.

В этой формуле, если r больше единицы, то каждый последующий член будет больше предыдущего, как правило, именно это обычно и требуют от сложных процентов. Геометрическая прогрессия образована произведением друг на друга членов этой последовательности. Чтобы понять, как работает расчет сложного процента, вычислим, к примеру, третий член такой последовательности, начав с первого:

, и так далее.

Арифметическая прогрессия отличается от геометрической только тем, что постоянная (называемая разностью прогрессии) не умножается, а складывается с предыдущим членом для получения последующего.

Основная формула сложных процентов

В следующей формуле мы используем немного другую запись, более удобную для работы с процентами.

где:

• X – конечный результат накопления
• X₀ – первоначальное значение, стартовый взнос
• r – коэффициент увеличения, процентная ставка
• n – число периодов накопления

r — всегда положительное число, на практике обычно небольшое. Что может дать нам эта формула? С ее помощью мы можем рассчитать довольно много вещей, но лучше начать с самого простого.

Пусть банк, которому мы доверяем, предложил сделать вклад под 8,5% годовых. Это означает, что каждый год наш капитал будет увеличиваться на 8,5%.

Некоторые люди наивно полагают (до сих пор есть такие!), что при увеличении вклада речь всегда идет только о первоначальном взносе, за которым идет прямое пропорциональное увеличение, не зависящее от времени (простые проценты). Этим пользуются и жулики. Например, Карл Маркс однажды использовал такую махинацию для обмана миллионов людей, со всеми последствиями, которые мы знаем. Но это другая и большая тема. В действительности банки используют как простые проценты, так и сложные для разных вкладов и кредитов.

На самом деле, наш капитал будет расти быстрее. Пусть мы сделали разовый вклад в 12 000 рублей на 10 лет. Тогда, даже в самом простом калькуляторе мы сможем подсчитать, что у нас получится с восемью с половиной процентами:

r = 1 + 0.085 = 1.085

Затем умножим r само на себя в 10 раз (это можно сделать, нажимая клавиши: 1.085 x² x² * 1.085 = x² = ). Получим число 2,260983442. Это число умножаем на первоначальный взнос и получаем нашу итоговую сумму на счете: 27131 рублей 80 копеек.

Нужно заметить, что в банковском ПО вместо вещественных чисел для денег используют специальные валютные форматы. Это исключает недоразумения и злоупотребления, связанные с погрешностями расчетов.

Сравним с простой арифметической прогрессией. Прирост капитала за первый год: 12 000 * 1.085 – 12 000 = 12 000 * 0.085 = 1020 рублей. За 10 лет это составит 10200 рублей. Если сложить прирост с первоначальным взносом, получится всего 22200 рублей. Разница значительная: 4931,80 рублей.

Процентные ставки часто бывают довольно высокими и тогда рост капитала становится фантастическим. Но таков же и риск. И наоборот, очень низкие процентные ставки всегда означают большую надежность. Однако для хорошей прибыли за приемлемое время требуется иметь большой капитал.

Насколько вырос капитал за месяц, если проценты годовые

Период капитализации не всегда бывает годовым, иногда он рассчитывается раз в месяц, а во времена банковских компьютерных сетей можно позволить себе роскошь — рассчитывать проценты ежедневно. Расчет сложных процентов за любой период можно по другой формуле, которой и пользуются в банках:

где:

• p – процент годовых
• d – период капитализации, дней
• y – число дней в текущем календарном году

Остальные параметры формулы те же, что и прежде. Теперь можно было бы перейти к другим традиционным задачам, связанным с процентами, но лучше взглянуть на другие возможности, которые у нас сегодня у каждого буквально под рукой.

Использование офисных программ для работы со сложными процентами

Любой офисный пакет, а именно его табличный процессор, предоставляет множество функций для денежных расчетов: от самых простых и до самых сложных. Достаточно просто выбрать нужную (или несколько) для составления своих формул. Если использовать возможность программировать на VBA в Excel, то можно получать более быстрые результаты при расчетах. Когда рассчитывается сложная процентная ставка, формула может быть простейшей рекурсией без всяких степеней и логарифмов. Все сделает цикл с параметром в число периодов начисления. При необходимости можно легко добавить сумму периодического инвестирования, не ломая голову над выводом или поиском формул.

В примере, показанном ниже, используется, правда, не MS Excel, а LibreOffice Calc, – близнец Экселя для UNIX-подобных операционных систем. Но это, в принципе, ничего совершенно не меняет. Код макроса для OOBasic хоть и отличается от экселевского, но только в технических деталях.

В примере на рисунке выше мы рассчитываем как сложные, так и простые проценты по вкладу 8,6% годовых. Проценты начисляются каждый год, а вклад рассчитан на 18 лет вперед. Начальный взнос 25 тыс. рублей мы (условно) делаем 1 января 2017 года. Если мы хотим сравнить графики для этих результатов, что, конечно, более наглядно, то добро пожаловать на следующий лист, в который этот самый график очень легко вставить.

Пример показывает, что за прошедший срок составные проценты вдвое превышают простые.

Еще один пример. Можно легко переделать нашу модель и снять ограничение на ежегодную капитализацию. Тогда мы можем решить еще одну задачу. Предположим, что мы открыли центовый счет на бирже Forex и хотим поучаствовать в торговле валютами. Считая, что мы умеем, добросовестно работая с информацией, расти на 10% в день (что, может быть, слегка самонадеянно, но бог с ним), посмотрим, что получится из депозита в одну тысячу рублей, за месяц, т.е. 22 рабочих дня. Для этого чуть изменим формулу для нашего постоянного множителя:

Теперь мы избавились от (довольно искусственного) ограничения на ежегодный пересчет процентов. И получаем такую картину:

А на графике можем видеть рост и разницу между составными и обычными процентами:

И здесь видна разница между простыми и составными процентами.